题目内容

设等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=1，公比 $数学公式$ ．
（Ⅰ）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足 $数学公式$ ，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若λ=1，记 $数学公式$ ，数列{c_n}的前项和为T_n，求证：当n≥2时，2≤T_n＜4．

解：（Ⅰ）证明： $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ 所以S_n=（1+λ）-λa_n
（Ⅱ） $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公差为1的等差数列， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

（Ⅲ）λ=1时， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
相减得∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
又因为 $\text{[math]}$ ，∴T_n单调递增，
∴T_n≥T₂=2，故当n≥2时，2≤T_n＜4．

分析：（Ⅰ）先求等比数列{a_n}的前n项和S_n，再表达出 $\text{[math]}$ ，故可证；
（II）先求出b_n，再进一步变形，判断出 $\text{[math]}$ 是等差数列，根据等差数列的通项公式求出{b_n}的通项公式；
（III）先求出C_n，再由错位相减法求出该数列的前n项和为T_n．
点评：本题是数列的综合题，考查等差数列、等比数列的通项公式，涉及了错位相减法求数列的前n项和，考查了分析问题和解决问题的能力．