题目内容
函数f（x）=ax3-2ax2+（a+1）x不存在极值点，则实数a的取值范围是 ．
分析：由已知函数解析式可得导函数解析式，根据导函数不变号，函数不存在极值点，分别讨论a=0和a≠0时，a的取值，综合讨论结果可得答案．
解答：解：∵f（x）=ax3-2ax2+（a+1）x
∴f′（x）=3ax2-4ax+（a+1）
若a=0，则f′（x）=1＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件
若a≠0，则△=16a2-12a（a+1）≤0时，
即0＜a≤3时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件
综上，函数f（x）=ax3-2ax2+（a+1）x不存在极值点的充要条件是0≤a≤3
故答案为：0≤a≤3
∴f′（x）=3ax2-4ax+（a+1）
若a=0，则f′（x）=1＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件
若a≠0，则△=16a2-12a（a+1）≤0时，
即0＜a≤3时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件
综上，函数f（x）=ax3-2ax2+（a+1）x不存在极值点的充要条件是0≤a≤3
故答案为：0≤a≤3
点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中a=0这种情况易被忽略．
练习册系列答案
小题狂做系列答案
相关题目