Question

18、已知函数f（x）=ax³-6ax²+b（x∈[-1，2]）的最大值为3，最小值为-29，求a、b的值．

Answer 1

分析：求出f′（x）=0在[-1，2]上的解，研究函数f（x）的增减性，函数的最值应该在极值点或者区间端点取，已知最大值为3，最小值为-29代入即可．

解答：解：函数f（x）=ax³-6ax²+b
∴f′（x）=3ax²-12ax=3a（x²-4x）
令f′（x）=3ax²-12ax=3a（x²-4x）=0，显然a≠0，否则f（x）=b为常数，矛盾，
∴x=0，若a＞0，列表如下：

由表可知，当x=0时f（x）取得最大值∴b=3
又f′（0）=-29，则f（2）＜f（0），这不可能，
∴f（2）=8a-24a+3=-16a+3=-29，∴a=2
若a＜0，同理可得a=-2，b=-29
故答案为：a=2，b=3或a=-2，b=-29

点评：本题考查函数的导数在求最大值、最小值中的应用，关键是对于闭区间上的最值要注意函数的端点函数值，注意区别理解函数的极值点一定不在函数端点，而最值点可能在函数端点，属于基础题．