Question

有下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′(

π

12

)=1；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009!．
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①中f（2x）为复合函数，故其导数为f′（2x）×（2x）′=2f′（2x）；
②先将h（x）进行化简，h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）=cos²x-sin²x=cos2x，再由复合函数的求导公式进行求导，再将x=

π

12

代入求解即可；
③中可将（x-1）（x-2）…（x-2009）看作一个整体，利用记得求导法则进行求导，再代入x=2010即可
④中f（x）为三次函数，“f（x）有极值点”的充要条件是导函数有两个不相等的零点，考虑其△即可．

解答：解：①中f（2x）为复合函数，故其导数为f′（2x）×（2x）′=2f′（2x），①为假命题；
②h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）=cos²x-sin²x=cos2x，
h′（x）=-2sin2x，所以h′(

π

12

)=-2sin

π

6

=-1，②为假命题
③g（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]（x-2010），
∴g′（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]′（x-2010）+[（x-1）（x-2）…（x-2009）]（x-2010）′
=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]′（x-2010）+（x-1）（x-2）…（x-2009）
∴g′（2010）=（2010-1）（2010-2）…（2010-2009）=2009!，故③为真命题；
④f′（x）=3ax²+2bx+c，f（x）有极值点?f′（x）=0有两个不等实根?△=4b²-12ac＞0，故命题④为假命题．
故答案为：③

点评：本题考查复合函数求导及导数的运算法则、函数的极值问题，综合性较强，难度较大．