Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，且c=1．
（Ⅰ）求tan（B+C）；
（Ⅱ）求a的值．

Answer 1

分析：（I）根据两角和的正切函数公式化简所求的式子，将tanB和tanC的值代入即可求出值；
（II）由三角形的内角和定理得到A=180°-B-C，然后根据诱导公式及tan（B+C）的值即可得到tanA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数，然后由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，由sinC，sinA，c的值，利用正弦定理即可求出a的值．

解答：解：（I）因为tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，tan(B+C)=

tanB+tanC

1-tanBtanC

，（3分）
代入得到，tan(B+C)=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1；（6分）
（II）因为A=180°-B-C，（7分）
所以tanA=tan[180°-（B+C）]=-tan（B+C）=-1，（19分）
又0°＜A＜180°，所以A=135°．（10分）
因为tanC=

1

3

＞0，且0°＜C＜180°，
所以sinC=

10

10

，（11分）
由

a

sinA

=

c

sinC

，得a=

5

．（13分）

点评：此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式及诱导公式化简求值，灵活运用正弦定理、同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．