Question

如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求证：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证AC⊥平面DEF，先证AC⊥DE，再证AC⊥EF，即可；
（2）分别计算面积，利用面积比，即可求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值；
（3）M为BD的中点，连CM，设CM∩DE=O，连OF，只要MN∥OF即可，求出CN．

解答：（1）证明：取AC的中点H，连接BH，
∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF；
（2）解：设AB=BC=2a，则DE=

3

a，EF=

2

2

a，∴S△DEF=

1

2

3

a•

2

2

a=

6

4

a
∵S△ABD=

1

2

•2a•2a=2a
∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为

6

8

；
（3）解：存在这样的点N，
当CN=

3

8

CA时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE=O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO=

2

3

CM．
∴当CF=

2

3

CN时，MN∥OF，∴CN=

3

2

•

1

4

CA=

3

8

CA

点评：本题考查线面垂直，线面平行，考查面面角，考查逻辑思维能力，属于中档题．