Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（1）求证：直线AE⊥平面A₁D₁E；
（2）求三棱锥A-A₁D₁E的体积；
（3）求异面直线A₁E与AD₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）根据已知中长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点，结合长方体的几何特征，我们可得AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，结合线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面A₁D₁E；
（2）由（1）的结论，我们可得AE即为三棱锥A-A₁D₁E的高，根据已知求出三棱锥的底面积，代入棱锥体积公式，即可求出三棱锥A-A₁D₁E的体积；
（3）取CC₁的中点F，连接D₁F，则可得∠AD₁F即为求异面直线A₁E与AD₁所成角，在△AD₁F中，可求得结论．

解答：（1）证明：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点
∴AE=A₁E=

2

，AA₁=2，
∴AA₁²=AE²+A₁E²
∴AE⊥A₁E
又∵D₁A₁⊥平面A₁EA，AE?平面A₁EA
∴AE⊥A₁D₁，又D₁A₁∩A₁E=A₁，
∴AE⊥平面A₁D₁E；
（2）解：由（1）中AE⊥平面A₁D₁E，
∴V_A-A1D1E=

1

3

•S_△A1D1E•AE=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

2

=

1

3

（3）解：取CC₁的中点F，连接D₁F，

则A₁E∥D₁F，所以∠AD₁F即为求异面直线A₁E与AD₁所成角．
∵AB=BC=1，AA₁=2，∴D1F=

2

，AF=

3

，AD1=

5

∵D1F2+AF2=AD12
∴D₁F⊥AF
在△AD₁F中，可求得tan∠AD₁F=

3

2

=

6

2

∴∠AD₁F=arctan

6

2

．

点评：本题主要考查空间角，体积的计算，线面垂直，考查了空间想象能力、计算能力，属于中档题．