Question

以椭圆的右焦点F₂为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F₁，且直线MF₁与此圆相切，则椭圆的离心率e为

 

．

Answer 1

分析：先根据题意得|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，在直角三角形MF₁F₂中 根据勾股定理可知|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²，进而得到关于a和c的方程，把方程转化成关于

c

a

即e的方程，进而求得e．

解答：解：由题意得：|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
直角三角形MF₁F₂中
|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²
即（2a-c）²+c²=4c²
整理得2a²-2ac-c²=0
a=（2c+2c根号3）/4=（c+c根号3）/2=c（1+根号3）/2
等式两边同除以a²，得

c2

a2

+2•

c

a

-2=0
即e²+2e-2=0，解得e=

3

-1或-

3

-1（排除）
故e=

3

-1
故答案为

3

-1

点评：本题主要考查了椭圆性质．要利用好椭圆的第一和第二定义．