Question

以椭圆的右焦点F₂为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心O并交椭圆于点M、N，若过椭圆的左焦点F₁的直线MF₁是圆F₂的切线，则右准线与圆F₂（　　）

A．相交

B．相切

C．相离

D．位置关系随离心率改变

Answer 1

分析：先根据题意和椭圆定义可知|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c 进而根据勾股定理建立等式求得e，利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系．

解答：解：由题意得：|MF₂|=|OF₂|=c，
|MF₁|+|MF₂|=2a，
|F₁F₂|=2c，
直角三角形MF₁F₂中，
|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²，
即（2a-c）²+c²=4c²，
整理得2a²-2ac-c²=0，
即e²+2e-2=0，解得e=

3

-1，
圆心到椭圆的右准线l的距离为

a2

c

-c，圆的半径为c，
∴

a2

c

-c＜c，
∴椭圆的右准线l与圆F₂相交，
故选A．

点评：本题以椭圆与圆为依托，考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查直线与圆的位置关系．考查学生分析问题、解决问题的能力．