Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过椭圆右焦点F作两条弦AB与CD，当弦AB与x轴垂直时，|AB|=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若A点在第一象限，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，直线AB，CD的斜率分别为k₁，k₂，
（i）当k₁+k₂=0时，求△OAB的面积；
（ii）试判断四边形ACBD的面积是否有最小值？若有最小值，请求出最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过椭圆右焦点F作两条弦AB与CD，当弦AB与x轴垂直时，|AB|=$\sqrt{2}$．建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）（i）若A点在第一象限，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，直线AB，CD的斜率分别为k₁，k₂，k₁k₂=-1，当k₁+k₂=0时，k₁=1，k₂=-1，可得直线方程，即可求△OAB的面积；
（ii）设AB：y=k₁（x-1），代入椭圆方程，求出|AB|，同理求出|CD|，可得面积，化简，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=$\sqrt{2}$c，∴b=c
∵当弦AB与x轴垂直时，|AB|=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）（i）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，
∴AB⊥CD，
∴k₁k₂=-1，
∵k₁+k₂=0，
∴k₁=1，k₂=-1，
∵A点在第一象限，
∴AB的方程为y=x-1，
代入椭圆方程可得3x²-4x=0，
∴x=0或$\frac{4}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\frac{4}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∵d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{2}{3}$；
（ii）设AB：y=k₁（x-1），代入椭圆方程可得（1+2k₁²）x²-4k₁²x+2k₁²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{4{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{{k}_{1}}^{2}-2}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{2}（{{k}_{1}}^{2}+1）}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，
同理|CD|=$\frac{2\sqrt{2}（{{k}_{1}}^{2}+1）}{{{k}_{1}}^{2}+2}$，
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}（{{k}_{1}}^{2}+1）}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}（{{k}_{1}}^{2}+1）}{{{k}_{1}}^{2}+2}$
=2-$\frac{2}{2（{k}_{1}+\frac{1}{{k}_{1}}）^{2}+1}$，
∵$2（{k}_{1}+\frac{1}{{k}_{1}}）^{2}+1$≥2$（2\sqrt{{k}_{1}•\frac{1}{{k}_{1}}}）^{2}$+1=9，当且仅当k₁=±1时取等号，
∴四边形ACBD的面积的最小值为$\frac{16}{9}$．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的计算，正确运用韦达定理是关键．