Question

设α、β是方程x²-2kx+k+6=0的两个实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是________．

Answer 1

8
分析：由判别式△大于或等于零求出k的范围，由一元二次方程根与系数的关系求得α+β=2k，αβ=k+6，代入要求的式子化简为4•-，故当k=3时，（α-1）²+（β-1）²有最小值，运算求得结果．
解答：∵α、β是方程x²-2kx+k+6=0的两个实根，
∴判别式△=4k²-4（k+6）=4（k-3）（k+2）≥0，解得 k≥3，或 k≤-2．
且α+β=2k，αβ=k+6，
∴（α-1）²+（β-1）² =α²+β²-2（α+β ）+2=（α+β）²-2αβ-2（α+β ）+2=4k²-2（k+6）-2•2k+2=4•-，
故当k=3时，（α-1）²+（β-1）²有最小值是 4•-=8，
故答案为 8．
点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质的应用，属于中档题．