Question

已知函数f（x）=x（x-1）（x-a）有绝对值相等，符号相反的极大值和极小值，试确定常数a的值．

Answer 1

分析：先求利用导数求出极值点，根据根与系数的关系表示出极值点满足的条件，再利用极大值与极小值互为相反数建立等量关系，求出常数a即可．

解答：解：f（x）=x（x-1）（x-a）=x³-（a+1）x²+ax，
∴f′（x）=3x²-2（a+1）x+a，
令f′（x）=0，得3x²-2（a+1）x+a=0，
由题意，该方程必定有不相等两实根，可分别设为m，n，
则m+n=

2

3

(a+1)，mn=

a

3

，
∴f（m）+f（n）=m³+n³-（a+1）（m²+n²）+a（m+n）
=（m+n）³-3mn（m+n）-（a+1）[（m+n）²-2mn]+a（m+n）
=-

2

27

(a+1)(a-2)(2a-1)=0
∴a=-1或a=2或a=

1

2

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及根与系数的关系的应用，属于基础题．