Question

【题目】如图，圆与轴交于、两点，动直线（）与轴、轴分别交于点、，与圆交于、两点（点纵坐标大于点纵坐标）.

（1）若，点与点重合，求点的坐标；

（2）若，，求直线将圆分成的劣弧与优弧之比；

（3）若，设直线、的斜率分别为、，是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

由题意得到，，

（1）由得，根据点与点重合，得到在直线上，求出，联立直线与圆的方程，根据韦达定理，即可求出结果；

（2）取中点为，连结，由题意得到，推出，从而求出直线，再求出，进而可求出结果；

（2）设、，联立直线与圆的方程，得到，再由题意得，推出，求出或，根据得到，进而可求出结果.

因为圆与轴交于、两点，所以，，

（1）由得，又点与点重合，直线与圆交于、两点，

所以在直线上，

因此，所以，

由得，所以，因此，

所以，即；

（2）取中点为，连结，因为，所以为中点，

所以，因此，

所以直线的斜率为，由得：，

由点到直线距离公式可得：，又，

所以，故，所以，

因此劣弧的长度为：，

又圆的周长为：，

所以直线将圆分成的劣弧与优弧之比为.

（3）设、，因为，所以，代入圆可得：

，整理得：，

所以，

又、，所以，

又，，

所以，

即，即，

整理得：，解得或，

又，，所以，

即，即，

所以，解得，所以.