题目内容

已知PA⊥矩形ABCD所在平面，AB=3cm，BC=4cm，PA=4cm，则P到CD的距离为cm，P到BD的距离为cm．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：先根据线面垂直的判定定理可证CD⊥面PAD，而PD?面PAD，再根据线面垂直的性质可PD即为P到CD的距离，在直角三角形PAD中求出PD即可，连接BD，过点A作BD的垂线角BD与E，连接PE，同理可证PE⊥BD，得到PE即为点P到BD的距离，在直角三角形PAE中求出PE即可．
解答：

解：
∵PA⊥矩形ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD
∵CD⊥AD，PA∩AD=A
∴CD⊥面PAD，而PD?面PAD
∴PD即为P到CD的距离，而PA=4，AD=4，则PD= $\text{[math]}$
连接BD，过点A作BD的垂线角BD与E，连接PE
同理可证PE⊥BD
∴PE即为点P到BD的距离
∵AB=3cm，AD=4cm∴BD=5，AE= $\text{[math]}$
而PA=4，在直角三角形PAE中PE= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了点到线的距离，以及线面垂直的判定定理和性质的运用，同时考查了空间想象能力、计算能力和推理能力，属于基础题．

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如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．

第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．

第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA