Question

【题目】已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N* ．
（1）若2a2 ， a3 ， a2+2成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn= ，且b2= ，证明：b1+b2++bn＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1，两式相减，得到an+2=qan+1（n≥1）．

又由S2=qS1+1，得到a2=qa1．

故an+1=qan对所有n≥1都成立．

所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，从而 ．

由2a2，a3，a2+2成等差数列，可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2．

则（2q+1）（q﹣2）=0．

由已知，q＞0，故q=2．

所以 ．

（2）解：由（1）知，an=qn﹣1．

bn= ．

由 ，q＞0解得q= ．

因为1+q2（n﹣1）＞q2（n﹣1）所以

于是b1+b2++bn＞1+q+q2++qn﹣1= = =

故b1+b2++bn＞ ．

【解析】（1）由已知，Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1，两式相减，得到an+2=qan+1（n≥1），即数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，求出q即可．（2）可得q= ，即 ，于是b1+b2++bn＞1+q+q2++qn﹣1= = = ．