Question

【题目】已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴的交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）1.

【解析】试题分析：（1）由椭圆C的左顶点A在圆x2+y2=12上，求得a，由椭圆的一个焦点得c=3，由b2=a2-c2得b，即可．
（2）由题意，N1（x2，-y2），可得直线NM的方程，令y=0，可得点P的坐标为（4，0）． 利用△PMN的面积为S= |PF||y1-y2|，化简了基本不等式的性质即可得出.
试题解析：

（Ⅰ）∵椭圆的左顶点在圆上，∴

又∵椭圆的一个焦点为，∴ ∴

∴椭圆的方程为　

（Ⅱ）设，则直线与椭圆方程联立

化简并整理得，

∴，

由题设知 ∴直线的方程为

令得

∴点　　

（当且仅当即时等号成立）

∴的面积存在最大值，最大值为1.