题目内容
设函数f（x）=ln2x-2alnx+a2-1．
（1）若f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点，求实数a的取值范围．
（2）若f（x）＞a2对任意x∈（e，e2）恒成立，求实数a的最大值．
（1）若f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点，求实数a的取值范围．
（2）若f（x）＞a2对任意x∈（e，e2）恒成立，求实数a的最大值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,变化的快慢与变化率,利用导数研究函数的极值
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）令t=lnx，由x∈[1，e]得t∈[0，1]；从而化f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点为y=t2-2at+a2-1在区间[0，1]上恰有一个零点；从而可得a∈[-1，0]或a∈[1，2]；
（2）f（x）＞a2对任意x∈（e，e2）恒成立可化为t2-2at-1＞0对任意t∈（1，2）恒成立；a＜
对任意t∈（1，2）恒成立；化为最值问题．
（2）f（x）＞a2对任意x∈（e，e2）恒成立可化为t2-2at-1＞0对任意t∈（1，2）恒成立；a＜
| t2-1 |
| 2t |
解答：
解：（1）令t=lnx，∵x∈[1，e]；
∴t∈[0，1]；
由f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点化为
y=t2-2at+a2-1在区间[0，1]上恰有一个零点；
y=t2-2at+a2-1=（t-（a+1））（t-（a-1））；
故a+1∈[0，1]，或a-1∈[0，1]，
解得a∈[-1，0]或a∈[1，2]；
（2）f（x）＞a2对任意x∈（e，e2）恒成立可化为
t2-2at-1＞0对任意t∈（1，2）恒成立；
a＜
对任意t∈（1，2）恒成立；
令F（t）=
，F′（t）=
＞0；
故F（t）=
在（1，2）上是增函数，
则a≤F（1）=0；
故实数a的最大值为0．
∴t∈[0，1]；
由f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点化为
y=t2-2at+a2-1在区间[0，1]上恰有一个零点；
y=t2-2at+a2-1=（t-（a+1））（t-（a-1））；
故a+1∈[0，1]，或a-1∈[0，1]，
解得a∈[-1，0]或a∈[1，2]；
（2）f（x）＞a2对任意x∈（e，e2）恒成立可化为
t2-2at-1＞0对任意t∈（1，2）恒成立；
a＜
| t2-1 |
| 2t |
令F（t）=
| t2-1 |
| 2t |
| 2t2+2 |
| (2t)2 |
故F（t）=
| t2-1 |
| 2t |
则a≤F（1）=0；
故实数a的最大值为0．
点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．
练习册系列答案
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．
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