Question

给出下列命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为

1

2

的扇形面积为

1

2

；
②若α、β为锐角，tan（α+β）=

1

2

，tan β=

1

3

，则α+2β=

π

4

；
③函数y=cos（2x-

π

3

）的一条对称轴是x=

2

3

π；
④?=

3

2

π是函数y=sin（2x+?）为偶函数的一个充分不必要条件．
其中真命题的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：①由扇形的面积公式S=

1

2

α•r2可求
②由α、β为锐角，tan（α+β）=

1

2

＜1，tan β=

1

3

＜1，可得0＜α+β＜

π

4

，0＜β＜

π

4

，，进而可得0＜α+2β＜

π

2

，然后利用tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)tanβ

可求
③根据函数对称轴处取得最值的性质可判断
④∅=

3π

2

时，函数y=sin（2x+?）=-cos2x为偶函数，但是当y=sin（2x+?）为偶函数时，kπ+

1

2

π=∅，

解答：解：①由扇形的面积公式可得S=

1

2

×

1

2

×22=1，则半径为2，圆心角的弧度数为

1

2

的扇形面积为1；故①错误
②由α、β为锐角，tan（α+β）=

1

2

＜1，tan β=

1

3

＜1，可得0＜α+β＜

π

4

，0＜β＜

π

4

，
∴0＜α+2β＜

π

2

则tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)tanβ

=

1 3 + 1 2

1- 1 2 • 1 3

=1
∴α+2β=

π

4

；故②正确
③当x=

2π

3

时，函数y=cos（2x-

π

3

）=cosπ=-1取得函数的最小值，根据函数对称轴处取得最值的性质可知，函数的一条对称轴是x=

2

3

π；③正确
④∅=

3π

2

时，函数y=sin（2x+?）=-cos2x为偶函数，但是当y=sin（2x+?）为偶函数时，kπ+

1

2

π=∅，即∅=

3π

2

是函数y=sin（2x+?）为偶函数时的一个充分不必要条件．④正确
故答案为：②③④

点评：本题以命题的真假关系的判断为载体，主要考查了扇形的面积公式、两角和的正切公式、正弦函数与余弦函数的对称性质等知识的综合应用，此类试题综合性强，考查的知识点较多．