Question

如图，四棱锥中，.,F为PC的中点，.

（1）求的长：

（2）求二面角的正弦值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，-3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=，从而得到，可得PA的长为；

（2）由（1）的计算，得的坐标．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出和分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B-AF-D的正弦值．

试题解析：【解析】
如图建立空间坐标系

（2）设面AFD的法向量，设面ABF的法向量

考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.点、线、面间的距离计算；3.二面角的平面角及求法．