题目内容
已知圆C：（x-1）2+（y-3）2=4，过原点O的直线l与圆C相交于A、B两点
（1）若弦AB的长为2
，求直线l的方程；
（2）求证：
•
为定值．
（1）若弦AB的长为2
| 2 |
（2）求证：
| OA |
| OB |
（1）设直线方程y=kx，所以(
)2+(
)2=4，…（3分）
解得k=1或k=-7
所以直线方程为y=x或y=-7x…（5分）
（2）当k不存在时，直线为x=0，此时
•
=6…（6分）
当k存在时，设直线y=kx，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
消y得（1+k2）x2-（6k+2）x+6=0，…（7分）
•
=x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2=(1+k2)x1x2，
由x1x2=
所以
•
=6
综上：
•
=6…（11分）
| |k-3| | ||
|
| 2 |
解得k=1或k=-7
所以直线方程为y=x或y=-7x…（5分）
（2）当k不存在时，直线为x=0，此时
| OA |
| OB |
当k存在时，设直线y=kx，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
|
消y得（1+k2）x2-（6k+2）x+6=0，…（7分）
| OA |
| OB |
由x1x2=
| 6 |
| 1+k2 |
所以
| OA |
| OB |
综上：
| OA |
| OB |
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