题目内容

已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），函数g（x）的图象与函数 $数学公式$ （a＞1）的图象关于直线y=x对称．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若函数g（x）在区间 $数学公式$ 上的值域为[log_a（p+3m），log_a（p+3n）]，求实数p的取值范围；
（3）设函数F（x）=a^{f（x）-g（x）}（a＞1），试用列举法表示集合M={x|F（x）∈Z}．

解：（1）∵函数g（x）的图象与函数 $\text{[math]}$ （a＞1）的图象关于直线y=x对称
∴函数g（x）与函数 $\text{[math]}$ （a＞1）互为反函数
则g（x）=log_a（x²-3x+3）（x＞ $\text{[math]}$ ）
（2）∵a＞1，m＞ $\text{[math]}$
∴函数g（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增
∵函数g（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的值域为[log_a（p+3m），log_a（p+3n）]，
∴g（m）=log_a（m²-3m+3）=log_a（p+3m），
g（n）=log_a（n²-3n+3）=log_a（p+3n），
即x²-3x+3=p+3x在（ $\text{[math]}$ ，+∞）有两个不等的根
∴-6＜p＜ $\text{[math]}$
（3）f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（x²-3x+3）= $\text{[math]}$
∴F（x）=a^{f（x）-g（x）}= $\text{[math]}$ （x＞ $\text{[math]}$ ）
而函数F（x）的值域为（0， $\text{[math]}$ ]
∵F（x）∈Z
∴F（x）=1或2或3，此时x=2+ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、2
∴M={x|F（x）∈Z}={2+ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，2}
分析：（1）根据函数g（x）的图象与函数 $\text{[math]}$ （a＞1）的图象关于直线y=x对称可知两函数互为反函数，从而求出函数g（x）的解析式；
（2）根据函数的单调性建立等式关系，x²-3x+3=p+3x在（ $\text{[math]}$ ，+∞）有两个不等的根，从而求出p的范围；
（3）先求出函数F（x）的值域，然后根据值域中的整数来求相应的x的值，即可求出集合M．
点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数的值域和列举法，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．