Question

如图所示，一块椭圆形的铁板Γ的长轴长为4米，短轴长2米．
（1）请你以短轴的端点A为直角顶点，另外两个锐角的顶点B，C都在椭圆铁板的边缘，截取等腰直角三角形，并求该三角形的面积（结果保留一位小数）；
（2）请你按（1）中所述的方法，再切割出一个面积不同的等腰直角三角形，
并求该三角形的面积（结果保留一位小数）．

Answer 1

分析：（1）以椭圆的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，取AB所在直线斜率为1，则AC所在直线斜率为-1，写出AB，AC所在直线方程后和椭圆方程联立，分别求出B，C的横坐标，得到BC长度，BC边上的高等于BC的一半，由三角形的面积公式求得面积；
（2）设AB所在直线斜率为k，则AC所在直线斜率为-

1

k

，写出AB，AC的方程，由弦长公式求得|AB|，|AC|的长度，由|AB|=AC|求出k的值，代入S△ABC=

1

2

|AB|•|AC|得三角形的面积．

解答：解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，
则椭圆方程为：

x2

4

+y2=1．
∵∠BAC=90°，设k_AB=1，k_AC=-1．
∴AB边所在直线方程为：y=x+1，AC边所在直线方程为y=-x+1．
联立

y=x+1 x2 4 +y2=1

，得5x²+8x=0，解得x=0或x=-

8

5

．
∴点B横坐标为-

8

5

．
联立

y=-x+1 x2 4 +y2=1

，得5x²-8x=0，解得x=0或x=

8

5

．
∴点C横坐标为

8

5

．
∴|AB|=

16

5

．
则等腰直角三角形ABC的面积为：S=

1

2

×

16

5

×

8

5

≈2.6；
（2）设AB所在的直线方程为：y=kx+1，则AC所在的直线方程为：y=-

1

k

x+1．
将AB所在的直线方程代入椭圆方程，得（1+4k²）x²+8kx=0．
可求得，|AB|=

1+k2

•

8|k|

1+4k2

同理可求得，|AC|=

1+( 1 k )2

•

8|k|

k2+4

．
不妨设k＞0，令|AB|=|AC|，得

1+k2

•

8k

1+4k2

=

1+( 1 k )2

•

8k

k2+4

，
即k³-4k²+4k-1=0，解得k=1或k=

3± 5

2

．      
当k=1时，所截取等腰直角三角形面积为2.6平方米，为（1）中所求；
当k=

3+ 5

2

时，代入S△ABC=

1

2

|AB|•|AC|得S_△ABC≈2.1．
所截取等腰直角三角形面积为2.1平方米．

点评：本题考查了椭圆的应用，考查了直线与椭圆的位置关系，训练了弦长公式的用法，考查了学生的计算能力，是中档题．