Question

对于凸多边形P的每一边b，以b为一边在P内作一个面积最大的三角形．证明，所有这些三角形的面积之和不小于P 的面积的两倍．

Answer 1

证明：过P的每个顶点有唯一的直线平分P的面积，将该直线与P的边界的另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线)．每两条面积平分线都交于 P 内．P 可

看成一个 2n 边形，每条对角线是P 的面积平分线(i=1，2，…，n，)．设与交于 ()，由面积关系得到， 

，，故和

中必有一个不小于 1，于是以 为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积

．

对于每条有向线段，P内部的每一点T或在它的左侧或在它的右侧．由于T在和的相反侧，故必有i使得T在和 的相反侧，从而Ｔ在或中．即．于是

    P 中同一边上的各个之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．