Question

19．设f（x）=$\frac{{e}^{|x|}+x+1}{{e}^{|x|}+1}$在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值为p，最小值为q，则p+q=（　　）

• A． 4
• B． 3.5
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-1，易判断g（x）为奇函数，利用奇函数的性质可求得g（x）最大值与最小值的和，从而可得f（x）的最大值与最小值的和．

解答 解：f（x）=1+$\frac{x}{{e}^{|x|}+1}$，令g（x）=f（x）-1=$\frac{x}{{e}^{|x|}+1}$，x∈[-m，m]（m＞0），
g（-x）=$\frac{-x}{{e}^{|-x|}+1}$=-g（x），所以g（x）为奇函数．
当x∈[-m，m]时，设g（x）_max=g（x₀），即[f（x）-1]_max=g（x₀），所以f（x）_max=1+g（x₀）；
又g（x）是奇函数，所以g（x）_min=-g（x₀），即[f（x）-1]_min=-g（x₀），所以f（x）_min=1-g（x₀），
所以p+q=[1+g（x₀）]+[1-g（x₀）]=2．
故选：D．

点评 本题考查了闭区间上函数的最值、函数的奇偶性，解决本题的关键是根据函数特点恰当构造函数，充分利用函数性质