Question

如图1，在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD上的射影为点D，如图2.      

（I）求证：AP//平面EFG；

（II）求二面角E-FG-D的一个三角函数值.

Answer 1

解：由题意，△PCD折起后PD⊥平面ABCD, 四边形ABCD是边长为2的正方形，PD＝2.

（I）∵ E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，

∴ EF∥CD, EG∥PB.

又CD∥AB, ∴EF∥AB, PBAB=B, 

∴ 平面EFG∥平面PAB

(II)建立空间直角坐标系,如图,       

则D(0,0,0),F(0,0,1),G(1,2,0),E(0,1,1),

(0,1,0) , (1,2,0), (0,－1，0)，

（1，1，－1）.     ...........................6分

设平面DFG的法向量为，

则  ∴

令得（－2，1，0）.

设平面EFG得法向量为，

则

     ∴  

    令得（1，0，1），

设二面角E-FG-D为, 则=,

所以, 设二面角E-FG-D的余弦值为