Question

在平面直角坐标系中，
（1）求曲线y²=2x经过伸缩变换?：

x′=3x y′=-2y

后得到的曲线的方程；
（2）曲线C经过伸缩变换?：

x′=3x y′=y

后得到的曲线的方程为x^'2+9y^'2=9，求曲线C的方程．

Answer 1

分析：（1）由伸缩变换?：

x′=3x y′=-2y

得

x= 1 3 x′ y=- 1 2 y′

，将此式代入原曲线方程即可．
（2）只要把伸缩变换公式?：

x′=3x y′=y

代入曲线方程为x^'2+9y^'2=9，即可得原曲线c的方程．

解答：解：（1）由伸缩变换?：

x′=3x y′=-2y

得

x= 1 3 x′ y=- 1 2 y′

，将此式代入曲线y²=2x，得

1

4

y′2=

2

3

x′，即y^′2=

8

3

x^′．
（2）由题意，把伸缩变换公式?：

x′=3x y′=y

代入曲线方程为x^'2+9y^'2=9，得（3x）²+9y²=9，即x²+y²=1．
∴曲线c的方程为x²+y²=1．

点评：本题考查了伸缩变换，弄清变化公式的意义和求解的方程即可，较简单．