Question

当a取怎样的值时，抛物线y²=2x和圆（x-a）²+y²=4，有且只有两个公共点．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是抛物线与圆的综合性质，由由于抛物线y²=2x和圆（x-a）²+y²=4，有公共的对称轴x轴故如果抛物线y²=2x和圆（x-a）²+y²=4，有且只有两个公共点．则这两个点的横坐标相等且大于0，联立两条曲线的方程组成方程组，然后利用韦达定理，即可给出答案．

解答：解：由于抛物线y²=2x和圆（x-a）²+y²=4，有公共的对称轴x轴
故如果抛物线y²=2x和圆（x-a）²+y²=4，有且只有两个公共点．
则这两个点的横坐标相等且大于0
即联立方程

y2=2x (x-a)2+y2=4

得：（x-a）²+2x=4有且只有一个正根时，满足条件
∵△=20-8a
∴当△=0，此时a=

5

2

，x=

3

2

，满足要求
当△＞0，a＜

5

2

，此时a²-4＜0
解得2＜a＜

5

2

综上，满足条件的a的取值范围为：2＜a≤

5

2

点评：曲线与曲线交点的个数一般可以由联系曲线方程得到的方程组解的个数来决定，但要注意，如果像本题一样，交点是对称的，我们要根据曲线的性质，进行分析后，才能进一步求解．