Question

已知A（x₁，y₁），B（1，y），C（x₂，y₂）是椭圆上的三点，F为椭圆的左焦点，且|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：线段AC的垂直平分线过定点．利用焦半径公式及|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，可得ex₁+a+ex₂+a=2（e×1+a），化为x₁+x₂=2．设线段AC的中点坐标为（1，m），①若直线AC的斜率不存在，则不符合题意．②当直线AC的斜率存在为k时，利用“点差法”可得，即．可知k≠0．利用点斜式可得线段AC的垂直平分线方程为，化为，即，把代入即可证明．
解答：解：线段AC的垂直平分线过定点．
下面给出证明：
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，
∴ex₁+a+ex₂+a=2（e×1+a），化为x₁+x₂=2．
设线段AC的中点坐标为（1，m），若直线AC的斜率不存在，则不符合题意．
当直线AC的斜率存在为k时，由，，相减可得，
∴，∴．可知k≠0．
∵线段AC的垂直平分线方程为，化为，即，
∴，即，当时，y=0，
因此线段AC的垂直平分线过定点．
点评：熟练掌握椭圆的焦半径公式、等差数列的定义、分类讨论的思想方法、线段的垂直平分线方程、过定点问题等是解题的关键．