Question

7．如图，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0）
（1）写出抛物线C的方程
（2）设过点（3，0）的直线l交抛物线C于M，N两点，试求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接由焦点坐标求p，则抛物线的方程可求；
（2）分直线的斜率存在和不存在求出直线方程，当斜率不存在时求出|MN|的值，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式求得弦长，由配方法求出弦长范围得答案．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），即$\frac{p}{2}=1$，∴p=2，
则抛物线C的方程为y²=4x；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=3，代入y²=4x，得y=$±2\sqrt{3}$，
∴|MN|=4$\sqrt{3}$；
当直线l的斜率存在时，设过点（3，0）的直线l的方程为y=k（x-3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-3）}\end{array}\right.$，则k²x²-（6k²+4）x+9k²=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{6{k}^{2}+4}{{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=9$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（\frac{6{k}^{2}+4}{{k}^{2}}）^{2}-36}$
=$4\sqrt{\frac{1}{{k}^{4}}+\frac{4}{{k}^{2}}+3}$=$4\sqrt{（\frac{1}{{k}^{2}}+2）^{2}-1}$$＞4\sqrt{3}$．
∴|MN|的最小值为$4\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．