Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）对3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1化简整理得，进而可以推断数列{a_n}是以2为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求得答案．
（Ⅱ）把（1）中求得a_n代入b_n=（2n-1）a_n中求得b_n，进而通过错位相减法求得T_n．
解答：解：（Ⅰ）由3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1
∴3a_n=5a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）
∴，（n≥2，n∈N^*），
所以数列{a_n}是以2为首项，为公比的等比数列，
∴a_n=2^2-n
（Ⅱ）b_n=（2n-1）•2^2-n
∴T_n=1×2+3×2+5×2^-1++（2n-1）•2^2-n
同乘公比得
∴
=
∴T_n=12-（2n+3）•2^2-n．
点评：本题主要考查了数列的递推式．对于由等比数列和等差数列构成的数列常可用错位相减法求得前n项和．