Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）设x₁，x₂，x₃为方程f（x）=0的三个根，且x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），x₃（-∞，-1）∪（1，+∞），求证：|a|＞1．

Answer 1

（1）由题意，得f′（x）=-3x²+2ax 
令f′（x）=0，解得x=0或x=

2

3

a
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得

2

3

a＜x＜0，
∴f（x）在（

2

3

a，0）上是增函数，与题意不符，舍去      
当a=0时，由f′（x）=-3x²≤0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数与题意不符，舍去   
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜

2

3

a
∴f（x）在（0，

2

3

a）上是增函数，
又∵f（x）在（0，2）上是增函数，
所以

2

3

a≥2，解得a≥3   
综上，a的取值范围为[3，+∞）         
另要使f（x）在（0，2）上是增函数，只需f′（x）在（0，2）上恒大于或等于零
∵f′（x）=）=-3x²+2ax 的图象是开口向下的抛物线，且过定点（0，0）
∴只需

f′(0)≥0 f′(2)≥0

，即

0≥0 -3×4+4a≥0

a≥3，即a的取值范围为[3，+∞）      
（2）因为方程f（x）=-x³+ax²+b=0最多只有3个根，
由题意得在区间（-1，0）内仅有一根，
∴f（-1）f（0）=b（1+a+b）＜0，①
由题意得在区间（0，1）内仅有一根，
∴f（0）•f（1）=b（-1+a+b）＜0      ②
当b=0时，∵f（0）=0，
∴f（x）=0有一根0，这与题意不符，
∴b≠0
当b＞0时，由①得1+a+b＜0，即a＜-b-1，
由②得-1+a+b＜0，即a＜-b+1，
∵-b-1＜-b+1，∴a＜-b-1＜-1，
即a＜-1    
当b＜0时，由①得1+a+b＞0，即a＞-b-1，
由②得-1+a+b＞0，即a＞-b+1，
∵-b-1＜-b+1，∴a＞-b+1＞1，
即a＞1  
综上，|a|＞1