Question

已知直线y=k（x-m）与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，又OD⊥AB于D，若动点D的坐标满足方程x²+y²-4x=0，则m=______．

Answer 1

∵D在直线y=k（x-m），∴可设D坐标为（x，k（x-m）），∴OD的斜率k'=

k(x-m)

x

∵OD⊥AB，AB的斜率为k，
∴有k•k'=

k2(x-m)

x

=-1，即k（x-m）=-

x

k

．
又因为动点D的坐标满足x²+y²-4x=0，即x²+[k（x-m）]²-4x=0，
将k（x-m）=-

x

k

代入可解得x=

4k2

k2+1

，
代入到

k2(x-m)

x

=-1，化简得4k²-mk²+4-m=0，即（4-m）•（k²+1）=0，
由于k²+1不可能等于0，∴只有4-m=0，∴m=4．
故答案为4．