Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（1）求证：直线AE⊥平面A₁D₁E；
（2）求三棱锥A-A₁D₁E的体积；
（3）求二面角E-AD₁-A₁的平面角的大小．

Answer 1

分析：（1）证出AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，则可证明AE⊥平面A₁D₁E．
 （2）VA-A1D1E=

1

3

•S△A1D1E•AE，代入数据计算即可．
（3）取AA₁的中点O，过O在平面ADD₁A₁中作OF⊥AD₁，交AD₁于F，连EF，∠EFO为二面角E-AD₁-A₁的平面角．在△AFO中 求解即可．

解答：解：（1）依题意：AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，则AE⊥平面A₁D₁E．
（2）VA-A1D1E=

1

3

•S△A1D1E•AE=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

2

=

1

3

．
（3）取AA₁的中点O，连OE，则EO⊥AA₁、EO⊥A₁D₁，
所以EO⊥平面ADD₁A₁．
过O在平面ADD₁A₁中作OF⊥AD₁，交AD₁于F，连EF，则AD₁⊥EF，
所以∠EFO为二面角E-AD₁-A₁的平面角．
在△AFO中，OF=OA•sin∠OAF=OA•

A1D1

AD1

=

5

5

．
∴tan∠EFO=

5

．

点评：本题主要考查空间角，体积的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．