Question

正态总体μ=0，σ=1时的概率密度函数是f（x）=，x∈R.

（1）证明：f（x）是偶函数；

（2）利用指数函数的性质说明f（x）的增减性；

（3）求f（x）的最大值.

Answer 1

（1）证明：设任意x∈R，

f（－x）===f（x），

∴f（x）是偶函数.

（2）解：令t=－，则f（x）=e^t.

∵f（x）关于t是增函数，t=－，当x∈（0，+∞）时，t关于x是减函数；

当x∈（－∞，0）时，t关于x是增函数.

由复合函数单调性，知当x∈（0，+∞）时，f（x）=是减函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）=是增函数.

（3）解：x∈R，x²∈［0，+∞），∴－∈（－∞，0］.又∵y=e^t为增函数，∴≤e⁰=1.

∴f（x）_max=f（0）=.

点评：对于正态曲线的简单性质要熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性、最高点的位置、曲线向横轴左右无限延伸时逐渐降低等.