Question

【题目】已知抛物线的焦点，上一点坐标为.

（1）求抛物线的方程；

（2）过作直线，交抛物线于，两点，若直线中点的纵坐标为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）将点坐标代入解析式,求得的值,即可求得抛物线方程.

（2）方法一:设点,,根据中点纵坐标即可利用点差法求得直线的斜率,由点斜式即可求得直线方程;方法二,设出直线方程,联立直线方程与抛物线方程,根据韦达定理和中点的纵坐标,即可求得直线方程.

（1）把代入抛物线方程

解得

∴的方程为.

（2）法一：由（1）得抛物线的方程为,焦点

设,两点的坐标分别为,,代入抛物线可得

则,两式相减,整理得

∵线段中点的纵坐标为

∴直线的斜率

直线的方程为即

法二：由（1）得抛物线的方程为,焦点

设直线的方程为

由消去,得

设,两点的坐标分别为,,

∵线段中点的纵坐标为

∴

解得

直线的方程为即