题目内容

已知 $数学公式$ ，当mn取得最小值时，直线 $数学公式$ 与曲线 $数学公式$ 交点个数为________．

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分析：由均值不等式1= $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立，所以m=2，n=4．故 $\text{[math]}$ ．①当x＞0，y＞0，表示 $\text{[math]}$ 的椭圆；②当x＞0，y＜0，表示 $\text{[math]}$ 以x轴为实轴的双曲线；③当x＜0，y＞0，表示 $\text{[math]}$ 以y轴为实轴的双曲线；④当x＜0，y＜0，表示 $\text{[math]}$ ，因为左边恒≤0所以不可能=右边，所以此时无解．作出图象能得到结果．
解答：

解：由均值不等式
1= $\text{[math]}$ ，
当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立，
也就是 $\text{[math]}$ ，
所以m=2，n=4．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
①当x＞0，y＞0，
表示 $\text{[math]}$ 的椭圆；
②当x＞0，y＜0，
表示 $\text{[math]}$ 以x轴为实轴的双曲线；
③当x＜0，y＞0，
表示 $\text{[math]}$ 以y轴为实轴的双曲线；
④当x＜0，y＜0，
表示 $\text{[math]}$ ，
因为左边恒≤0所以不可能=右边，
所以此时无解．
所以如图得到图象，
结合图象知直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交点个数是2个．
故答案为：2．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，解题时要注意均值定理和分类讨论思想、数形结合思想的合理运用．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，常因分类不清易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．