Question

（1）已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

，判断函数的奇偶性，并加以证明．
（2）已知函数f(x)=lg

1-x

1+x

，
    ①求f（x）的定义域；
    ②证明函数f（x）是奇函数．
    ③判断并证明f（x）在定义域内的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=

2x-1

2x+1

可得函数f（x）的定义域为R，且满足f（-x）=-f（x），从而得到函数f（x）为奇函数．
（2）①由函数的解析式可得

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，可得函数的定义域．
②由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
③令t（x）=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

，设-1＜x₁＜x₂＜1，则有f（x₁）-f（x₂）=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂），可得函数t（x）在定义域（-1，1）上是减函数

解答：（1）解：∵已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

，
∴函数f（x）的定义域为R，且满足f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

 =-

2x-1

2x+1

=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
（2）解：①∵已知函数f(x)=lg

1-x

1+x

，∴

1-x

1+x

＞0，即

x-1

x+1

＜0，即 （x-1）（x+1）＜0，解得-1＜x＜1，
故函数的定义域为（-1，1）．
②由于函数的定义域为（-1，1），关于原点对称，且满足f（-x）=lg

1+x

1-x

=lg(

1-x

1+x

)-1=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
③令t（x）=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

，
显然函数t（x）在定义域（-1，1）上是减函数．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，
则有f（x₁）-f（x₂）=[-1+

2

1+x1

]-[-1+

2

1+x2

]=

2

1+x1

-

2

1+x2

=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

．
由题设可得，（1+x₁）＞0，（1+x₂）＞0，2（x₂-x₁）＞0，
∴

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数t（x）在定义域（-1，1）上是减函数．
根据复合函数的单调性可得f（x）=lgt（x）=lg

1-x

1+x

 在定义域（-1，1）上是减函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的定义和判断方法，函数的单调性的判断和证明，复合函数的单调性，属于中档题．