题目内容

已知函数f（x）=（x²-x- $数学公式$ ）e^ax（a≠0）．
（1）曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为
（2）当a＞0时，若不等式f（x）+ $数学公式$ ≥0对x∈[- $数学公式$ ，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为．

解：（1）f′（x）= $\text{[math]}$
∴f′（0）=-2
将x=0代入f（x）得f（0）= $\text{[math]}$
所以曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为 $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 恒成立
即 $\text{[math]}$ 恒成立
令g（x）= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
=（ax²+2x-ax-2）e^ax
=（ax+2）（x-1）e^ax
令 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$
当x=1时，g（1）= $\text{[math]}$ ；当x= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ＞g（1）
故g（x）的最小值为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 解得0＜x≤ln3
故答案为（0，ln3]
分析：（1）利用函数在切点处的导数值是切线的斜率，求出导函数，令x=0求出斜率，利用点斜式求出直线方程．
（2）构造新函数g（x），求出其导函数，讨论导函数的符号，求出g（x）的最小值，最小值大于等于0，求出a的范围．
点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率、考查利用导数求函数的最值、考查解决不等式恒成立转化为求函数的最值．