Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）当

SA

AB

的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°．

Answer 1

分析：（1）欲证平面EBD⊥平面SAC，只需证BD⊥面SAC，利用线面垂直的判定定理可证得；
（2）作BM⊥SC于M，连接DM，可证得∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，利用余弦定理建立等量关系求解即可．

解答：解：证明（1）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD?面ABCD，∴SA⊥BD，
∵SA∩AC=A，∴BD⊥面SAC，
又∵BD⊥平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC；
（ 2 ）作BM⊥SC于M，连接DM，

∵SA⊥底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，
又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，
∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，
∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM．
要使∠BMD=120°，只须

BM2+DM 2-BD 2

2BM•DM

=cos120°，
即BM²=

1

3

BD²，而BD²=2AB²，∴BM²=

2

3

AB²，
∵BM×SC=SB×BC，SC²=SB²+BC²，
∴BM²×SC²=SB²×BC²，
∴

2

3

AB²（SB²+BC²）=SB²×BC²，
∵AB=BC，
∴2SB²+2AB²=3SB²，∴SB²=2AB²，
又∵AB²=SB²-SA²，
∴AB²=SA²，∴

SA

AB

=1，
故当

SA

AB

=1时，二面角B-SC-D的大小为120°．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．一般在证明面面垂直时，先证明线线垂直得到线面垂直，进而得面面垂直．