Question

已知二次函数同时满足：①不等式≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立，设数列｛｝的前项和．

（1）求函数的表达式；

(2) 设各项均不为0的数列｛｝中，所有满足的整数的个数称为这个数列｛｝的变号数，令（）,求数列｛｝的变号数；　

（3）设数列｛｝满足：，试探究数列｛｝是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）    (2) ３

解析:

（１）∵不等式≤0的解集有且只有一个元素

∴　解得或----------2分

当时函数在递增，不满足条件②

当时函数在（０，２）上递减，满足条件②

综上得，即----------4分

（２）由（１）知

当时，，当≥２时＝＝

∴-------6分由题设可得----7分

∵，，∴，都满足

∵当≥３时，

即当≥３时，数列｛｝递增，∵，由，可知满足∴数列｛｝的变号数为３。-----9分

（３）∵＝,　由（２）可得：

--------------11分

＝＝-------13分

∵当时数列｛｝递增，∴当时，最小, 又∵，

∴数列｛｝存在最小项------14分

〔或∵＝,由（２）可得：

-----11分

＝

对于函数　∵

∴函数在上为增函数，∴当时数列｛｝递增，

∴当时，最小，---13分

又∵，　∴数列｛｝存在最小项---------14分〕