Question

已知点P（x，y）在椭圆x²+2y²=3上运动，则

1

x2

+

2

1+y2

的最小值是（　　）

• A．

  4 10

  5

• B．

  9

  5

• C．1+

  2 2

  5

• D．2

Answer 1

分析：由题意可得x²+2y²=3即x²=3-2y²，则

1

x2

+

2

1+y2

=

1

3-2y2

+

2

1+y2

=

1

5

×( 

1

3-2y2

+

4

2+2y2

)(3-2y2+2+2y2)利用基本不等式可求最小值

解答：解：点P（x，y）在椭圆x²+2y²=3上运动
∴x²+2y²=3即x²=3-2y²
则

1

x2

+

2

1+y2

=

1

3-2y2

+

2

1+y2

=

1

5

×( 

1

3-2y2

+

4

2+2y2

)(3-2y2+2+2y2)
=

1

5

(5+

2+2y2

3-2y2

+

4(3-2y2)

2+2y2

)≥

1

5

(5+2

4

)=

9

5

即所求的最小值为

9

5

故选：B

点评：本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小值，解题的关键是利用了1═

1

5

( 3-2y2+2+2y2)的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式