Question

已知函数，当时函数取得一个极值，其中．

（Ⅰ）求与的关系式；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）当时，函数的图象上任意一点的切线的斜率恒大于，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）当时，在上单调递减，（8　分）

在上单调递增，在上单调递减；

(3)

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）， （　1分）

∵　是函数的一个极值点，

∴　，即， （　3分）

则； （　4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

＝，

∵　，

∴　 （5　分）

当变化时，的变化情况如下表：

				1
	－	0	＋	0	－
	↘	极小值	↗	极大值	↘

由上表知，当时，在上单调递减，（8　分）

在上单调递增，在上单调递减；

（Ⅲ）由已知得，即， （　9分）

∵　，　∴　，

设，其图象开口向上，

由题意知当时，恒成立， （　11分）

则，即，

解之得． （13　分）

又，∴　，

故的取值范围为． （　14分）

考点：导数的运用

点评：本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解极值，以及函数的切线方程的运用，基础题。