Question

已知圆M过定点D（0，2），圆心M在二次曲线y=

1

4

x2上运动．
（1）若圆M与y轴相切，求圆M方程；
（2）已知圆M的圆心M在第一象限，半径为

5

，动点Q（x，y）是圆M外一点，过点Q与 圆M相切的切线的长为3，求动点Q（x，y）的轨迹方程；
（3）若圆M与x轴交于A，B两点，设|AD|=a，|BD|=b，求

b

a

的取值范围？

Answer 1

分析：（1）圆心M(±2

2

，2)，半径r=2

2

，由此能求出圆M方程．
（2）设圆心M(2

m

，m)，则|MD|=

4m+(m-2)2

=

5

．由此得到圆M的方程为：（x-2）²+（y-1）²=5．设QP于圆M相切，切点为P，则|QM|²=|QP|²+|MP|²=14，由此能求出动点Q的轨迹方程．
（3）设圆心M（2m，m²），可知圆M方程为：（x-2m）²+（y-m²）²=4m²+（m²-2）²，取y=0，得x=2m±2，取A（2m+2，0），B（2m-2，0），则(

b

a

)2=

(2m-2)2+4

(2m+2)2+4

=1-4•

m

m2+2m+2

，由此能求出

b

a

的取值范围．

解答：解：（1）设圆心M（x，y），
∵圆M过定点D（0，2），且圆M与y轴相切，
∴直线MD⊥y轴，
∴kMD=

y-2

x-0

=0，
∴y=2，
∵圆心M在二次曲线y=

1

4

x2上运动，
∴M（x，2）在y=

1

4

x2上，
∴2=

1

4

x2，
解得x=±2

2

，
∴圆心M(±2

2

，2)，半径r=|DM|=

(±2 2 -0)2+(2-2)2

=2

2

，
∴圆M方程为：(x±2

2

)2+(y-2)2=8．…（4分）
（2）设圆心M(2

m

，m)，
则|MD|=

4m+(m-2)2

=

5

解得m=1，
所以圆M的方程为：（x-2）²+（y-1）²=5
设QP于圆M相切，切点为P，
则|QM|²=|QP|²+|MP|²=14
所以动点Q的轨迹方程是（x-2）²+（y-1）²=14…．（9分）
（3）设圆心M（2m，m²），
可知圆M方程为：（x-2m）²+（y-m²）²=4m²+（m²-2）²
取y=0得x=2m±2，
不妨取A（2m+2，0），B（2m-2，0），
则(

b

a

)2=

(2m-2)2+4

(2m+2)2+4

=1-4•

m

m2+2m+2

若m≠0，
有

m

m2+2m+2

=

1

m+ 2 m +2

∈[-

2 +1

2

，0)∪(0，

2 -1

2

]，
则(

b

a

)2∈[3-2

2

，3+2

2

]，
故所求

b

a

的取值范围为[

2

-1，

2

+1]…..（14分）

点评：本题考查圆的方程的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．