Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，过椭圆 右焦点的直线 交椭圆C于M，N两点，P为M，N的中点，且直线OP的斜率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设另一直线l与椭圆C交于A，B两点，原点O到直线l的距离为 ，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，直线 与x轴交点F（ ，0），则c= ， 设M（x1 ， y1）、N（x2 ， y2），P（xP ， yP），2xP=x1+x2 ， 2yP=y1+y2 ，
直线OP的斜率k= ，
则： ，
整理得： + =0，
则 =﹣ =﹣ ，
由直线MN的斜率k= =﹣ ×3=﹣1，整理得：a2=3b2=3（a2﹣c2），
又c= ，解得：a2=3，b2=1，
∴椭圆C的方程为： ；
（Ⅱ）由题意，①当直线l的斜率不存在时，O到直线l的距离为 ，
将x=± 代入椭圆方程，解得：y=± ，则丨AB丨=2丨y丨= ；
当直线斜率为O时，将y=± ，代入椭圆方程，解得：x=± ，
则丨AB丨=2丨x丨= ；
②当直线l的斜率存在时且不为0时，
设直线l的方程为：y=kx+m（k，m∈R且k≠0），
由题意，原点0到直线l的距离为 ，
故 ，则m2= （k2+1）．
设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），
则： ，（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=，
由题意△＞0，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
丨AB丨2=（1+k2）[（x1+x2）﹣4x1x2]=（1+k2）[（﹣ ）2﹣4× ]，
=（1+k2） ，
= ，
= =3+ ，
=3+ ≤3+ =4，
当且仅当9k2= ，即k=± 时等号成立，丨AB丨max=2，
综上所述，当直线l的斜率k=± 时，
即丨AB丨max=2时，△AOB面积的最大值，
最大值为S= ×丨AB丨max× = ，
△AOB面积的最大值 ．
【解析】（Ⅰ）当y=0时，求得焦点F坐标，M，N代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，化简求得MN的直线方程，即可求得a和b的关系，求得椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知：当丨AB丨最大时，△AOB面积的最大值，将直线AB代入椭圆方程，利用韦达定理弦长公式及基本不等式的性质，即可求得丨AB丨的最大值．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．