Question

已知函数f（x）=ax³+x²-ax，其中常数a∈R，x∈R．
（1）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；
（2）如果存在a∈（-∞，-1]，使函数h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1），在x=-1处取得最小值，试求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=3ax²+2x-a=0，得a=-

2x

3x2-1

．令y=-

2x

3x2-1

，则y′=

6x2+2

(3x2-1)2

＞0，由此能求出a的范围．
（2）由h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，知h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，令?（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．由此能求出b的最大值．

解答：解：（1）由f′（x）=3ax²+2x-a=0，
得a=-

2x

3x2-1

，
令y=-

2x

3x2-1

，
则y′=

6x2+2

(3x2-1)2

＞0，
所以y=-

2x

3x2-1

在区间（1，2）上递增，其值域为(-1，-

4

11

)，
所以a的范围是(-1，-

4

11

)．
（2）h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
据题知，h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，
即：（x+1）（ax²+（2a+1）x+（1-3a））≥0…①
当x=-1时，不等式①成立；
当-1＜x≤b时，不等式①可化为ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令?（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），
由a∈（-∞，-1]知其图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．
又?（-1）=-4a＞0，故不等式②成立的充要条件是?（b）≥0，
整理得：

b2+2b-3

b+1

≤-

1

a

在a∈（-∞，-1]上有解，
所以

b2+2b-3

b+1

≤(-

1

a

)max=1，
解得-1＜b≤

-1+ 17

2

，
所以b的最大值为

-1+ 17

2

．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．