题目内容

已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
1
2
x，sin
1
2
x)，x∈[0，π]．
（1）当x=
π
4
时，求
a
•
b
及|
a
+
b
|的值；
（2）求f(x)=m|
a
+
b
|-
a
•
b
（m∈R）的最大值．
分析：（1）先求出
a
•
b
及|
a
+
b
|的三角表达式，利用三角恒等变换公式化简后再代入x=
π
4
求得两向量的内积与两向量和的模的值；
（2）由题设条件f(x)=m|
a
+
b
|-
a
•
b
=-2cos2
x
2
+2mcos
x
2
-1，此式是关于cos
x
2
的二次函数，故可令t=cos
x
2
（0≤t≤1），换元，再由二次函数的知识求最值
解答：解：（1）∵
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
1
2
x，sin
1
2
x)
∴
a
•
b
=cos
3
2
xcos
1
2
x+sin
3
2
xsin
1
2
x=cos(
3
2
x-
1
2
x)=cosx
∴x=
π
4
时，
a
•
b
=
2
2
，
又|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=2+2cosx
∴x=
π
4
时，|
a
+
b
|=
2+
2

（2）∵x∈[0，π]，∴0≤cos
x
2
≤1
∴f(x)=m|
a
+
b
|-
a
•
b
=2m|cos
x
2
|-cosx=-2cos2
x
2
+2mcos
x
2
-1
令t=cos
x
2
（0≤t≤1）则f（x）=-2t2+2mt-1=-2(t-
m
2
)2+
m2
2
-1
∴当
m
2
＞1即m＞2时，此时t=1，f（x）max=2m-3
当0≤
m
2
≤1即0≤m≤2时，此时t=
m
2
，f(x)max=
m2
2
-1
当
m
2
＜0即m＜0时，此时t=0，f（x）max=-1
∴f(x)max=
2m-3(m＞2)
m2
2
-1(0≤m≤2)
-1(m＜0)
点评：本题考查平面向量数量积的运算，解题的关键是熟练掌握数量积的运算公式，以及三角恒等变换公式，本题是一个三角与向量结合的综合题，其解题的特点是变形灵活，考查灵活变形进行计算的能力
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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