Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1．
（1）求a、b的值；
（2）求出函数f（x）的单调区间．
（3）若在区间[-1，2]上，f（x）＜a 恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数在x=1处有极小值-1，得到f′（1）=0，f（1）=-1，代入数据写出关于a，b的方程组，就方程组即可；
（2）将a，b的值代入可得f（x）的解析式，求出导函数f′（x），利用f′（x）＞0，得到增区间，利用f′（x）＜0，得到f（x）的减区间，从而得到答案；
（3）将恒成立问题转化成求函数的最值，利用导数求函数的最值，从而得到关于a的不等式，求解即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，
∴f′（1）=0，f（1）=-1，
∴3-6a+2b=0  ①
1-3a+2b=-1   ②
解关于a，b的方程组得a=

1

3

，b=-

1

2

；
（2）由（1）知，f（x）=x³-x²-x，
∴f′（x）=3x²-2x-1，
令f′（x）＞0，可得x＜-

1

3

或x＞1，令f′（x）＜0，可得-

1

3

＜x＜1，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-

1

3

）和（1，+∞），单调减区间为（-

1

3

，1）；
（3）由（2）可知，f（x）在（-1，-

1

3

）上单调递增，在（-

1

3

，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，
f（x）在x=-

1

3

处取得极大值f（-

1

3

）=

5

27

，又f（2）=2，
∴f（x）的最大值为f（2）=2，
∵在区间[-1，2]上，f（x）＜a 恒成立，即f（x）_max＜a，
∴a＞2，
故实数a的取值范围为a＞2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的单调性，函数的单调性与导数的正负有关．本题还考查了函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成求函数的最值问题．属于中档题．