Question

(本小题满分16分)

 已知函数,其中.

（1）当时,求函数在处的切线方程;

（2）若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;

（3）已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：(1)当时,,则,故………2分

又切点为,故所求切线方程为,即……………………4分

(2)由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,

由,得,因为,所以……7分

令,则,故在区间(1,2)上是增函数,

所以其值域为,从而的取值范围是……………………………9分

   (3),

   由题意知对恒成立,即对恒成立,即  ①对恒成立 ……………………………11分

   当时,①式显然成立;

   当时,①式可化为    ②,

   令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 ……………13分

   即,其等价于   ③ ,

   因为③在时有解,所以,解得,

从而的最大值为……………………………16分

考点：导数的几何意义及函数零点，不等式与函数的转化

点评：不等式恒成立问题常转化为函数最值问题，不等式问题常转化为函数问题求解