Question

14．若对任意x∈（0，1），不等式$\frac{x-m}{lnx}$＞$\sqrt{x}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得-m＜lnx•$\sqrt{x}$-x在（0，1）恒成立，令f（x）=lnx•$\sqrt{x}$-x，求出导数，判断单调性，求得f（x）的范围，由恒成立思想，即可得到所求m的范围．

解答 解：对任意x∈（0，1），不等式$\frac{x-m}{lnx}$＞$\sqrt{x}$恒成立，
由lnx＜0，可得-m＜lnx•$\sqrt{x}$-x在（0，1）恒成立，
令f（x）=lnx•$\sqrt{x}$-x，f′（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$+$\frac{lnx}{2\sqrt{x}}$-1=$\frac{2-2\sqrt{x}+lnx}{2\sqrt{x}}$，
由g（x）=2-2$\sqrt{x}$+lnx的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{1-\sqrt{x}}{x}$＞0，
可得g（x）在（0，1）递增，即有g（x）＜g（1）=0，
则f′（x）＜0，f（x）在（0，1）递减，
即有f（x）＞f（1）=-1，
则有-m≤-1，解得m≥1．
则实数m的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性，求出最值，考查运算能力，属于中档题．