Question

设函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为

2π

3

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移

π

2

个单位长度得到，求y=g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）先将函数化简为f（x）=

2

sin（2ωx+

π

4

），再由

2π

2ω

=

2π

3

，可得答案．
（2）根据g（x）=f（x-

π

2

）先求出解析式，再求单调区间．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx+2=

2

sin(2ωx+

π

4

)+2
依题意得

2π

2ω

=

2π

3

，故ω的值为

3

2

．
（Ⅱ）依题意得：g(x)=

2

sin[3(x-

π

2

)+

π

4

]+2=

2

sin(3x-

5π

4

)+2
由2kπ-

π

2

≤3x-

5π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
解得

2

3

kπ+

π

4

≤x≤

2

3

kπ+

7π

12

(k∈Z)
故y=g（x）的单调增区间为：[

2

3

kπ+

π

4

，

2

3

kπ+

7π

12

](k∈Z)．

点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法．做这种题首先要将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式再做题．